Física 2

Leyes de Maxwell

¿Cuánto campo atraviesa una superficie? ¿Cuánto campo acompaña un recorrido cerrado? Explorá las cuatro leyes con explicaciones y animaciones que podés controlar.

Ley de Gauss eléctrica

Imaginá que encerrás una carga en una esfera. En cada pedacito de superficie, el producto escalar $\vec E\cdot d\vec A$ toma la componente del campo eléctrico que atraviesa ese pedacito. La normal apunta hacia afuera, así que el flujo es positivo cuando el campo sale y negativo cuando entra.

Al sumar todo, queda el flujo eléctrico neto. La ley de Gauss dice que ese total se obtiene dividiendo la carga encerrada $Q_{\rm enc}$ por $\varepsilon_0$ , la permitividad del vacío.

Si ubicás la carga a la izquierda y fuera de la esfera, adentro queda $Q_{\rm enc}=0$ . El campo de esa carga atraviesa la superficie. El flujo entrante y el saliente tienen la misma magnitud y signos opuestos, así que el flujo neto es cero.

\oiint_{\partial V}\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0}

Probalo en la animación

Con la carga centrada, cambiá su signo y compará radios de 0,75 m y 1,50 m para una misma carga. Con la carga a la izquierda, seguí las flechas y compará el flujo que entra con el que sale.

Una carga en el centro de una esfera

Carga central QRadio de la esfera

Componente normal de E: +17,98 N/C
Flujo eléctrico neto: +225,88 N·m²/C

Con la misma carga, probá dos radios. El campo en la esfera cambia y el flujo neto conserva su valor.

Con la carga centrada, la componente normal $E_n$ es la misma sobre toda la esfera. Al duplicar el radio, $E_n$ se divide por cuatro y el área se cuadruplica. El producto $E_n(4\pi r^2)$ conserva su valor, con el signo de la carga.

Forma diferencial

La divergencia de $\vec E$ mide el flujo neto saliente por unidad de volumen en una región muy pequeña. La densidad de carga $\rho$ indica cuánta carga hay por unidad de volumen.

\nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}

Ley de Gauss magnética

Ahora imaginá una superficie cerrada en un campo magnético $\vec B$ . Cada cruce aporta flujo positivo si el campo sale y negativo si entra. En el electromagnetismo clásico, el flujo magnético que entra en el volumen se compensa exactamente con el que sale.

La caja inclinable muestra la compensación en un campo uniforme. En el imán, el contorno punteado representa un corte de la superficie cerrada que rodea el extremo norte. Para sumar el flujo hay que contar también el corte que pasa por el interior del imán.

\oiint_{\partial V}\vec B\cdot d\vec A=0

Probalo en la animación

Incliná la caja y compará las caras opuestas. Después seguí una línea del imán y ubicá por dónde cruza la superficie al entrar y al salir.

El flujo magnético a través de una superficie cerrada

Inclinación de la caja

Entra (−): −1 Wb
Sale (+): +1 Wb
Flujo magnético neto: 0 Wb

Al inclinar la caja cambian los aportes de cada cara. Las dos caras paralelas al plano del dibujo aportan flujo cero porque el campo es tangente a ellas.

Dentro de la barra, el campo apunta de sur a norte. En el corte que atraviesa la barra, ese campo apunta hacia el interior del volumen elegido. Por eso ese cruce aporta flujo negativo.

Forma diferencial

En cada región diminuta, la divergencia magnética es cero. Esa condición permite que haya campo atravesando la región con flujos entrantes y salientes que se compensan.

\nabla\cdot\vec B=0

Ley de Faraday

Elegí una curva cerrada $C$ y una superficie fija $S$ que termine en esa curva. Llamamos $\Phi_B$ al flujo magnético que atraviesa $S$ . La normal de la superficie y el sentido positivo del recorrido de $C$ se eligen juntos con la regla de la mano derecha.

Si el flujo cambia, el campo eléctrico tiene circulación a lo largo de $C$ . La integral de $\vec E\cdot d\vec\ell$ suma la componente del campo tangente a ese recorrido. En una espira fija, esa circulación es la fuerza electromotriz inducida y se mide en voltios.

\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell=-\frac{d\Phi_B}{dt},\qquad \Phi_B=\int_S\vec B\cdot d\vec A

Verdadero o falso · El campo eléctrico es conservativo.

Falsa en general. Un campo conservativo tiene circulación cero en todo camino cerrado. La ley de Faraday dice que, si cambia el flujo magnético a través de la superficie limitada por una curva cerrada fija, la circulación de $\vec E$ por esa curva es distinta de cero.

\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell=-\frac{d\Phi_B}{dt}

En la animación, mirá un tramo inclinado del gráfico. Ahí cambia el flujo y aparece una fem distinta de cero. El campo electrostático, por su parte, es conservativo.

Probalo en la animación

Tocá Reproducir y seguí el punto en el gráfico del flujo. Fijate cuándo aparecen las flechas del campo eléctrico y cuándo cambian de sentido.

Una espira fija en un campo magnético que cambia

Rapidez de variación de B

Tiempo

Campo constante al inicio

Campo magnético B Campo eléctrico inducido

Campo B normal: +1 T
Variación de B: 0 T/s
Flujo magnético: +0,5 Wb
Fem inducida: 0 V
Sentido inducido: Circulación nula

Seguí las flechas para leer el sentido del campo eléctrico. En las mesetas el flujo es constante y la fem vale cero.

La altura del gráfico indica el flujo $\Phi_B$ y su pendiente indica cuánto cambia por segundo. El signo menos de la ecuación expresa la ley de Lenz. Cuando el flujo sube, la fem es negativa y las flechas de $\vec E$ van en sentido horario. Cuando baja, el sentido se invierte. En los tramos horizontales sigue habiendo campo magnético y la fem inducida es cero.

Forma diferencial

El rotacional de $\vec E$ mide su circulación local. Faraday lo relaciona con el cambio temporal de $\vec B$ en ese punto.

\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}

Ley de Ampère-Maxwell

La circulación del campo magnético alrededor de $C$ tiene dos aportes. La corriente de conducción $I_C$ cuenta la carga por segundo que cruza $S$ . La corriente de desplazamiento $I_D=\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$ mide el aporte de un flujo eléctrico $\Phi_E$ que cambia. La constante $\mu_0$ es la permeabilidad del vacío.

En un capacitor ideal en carga, podés elegir dos superficies con el mismo borde. Una corta el cable, donde circula $I$ . La otra pasa por el hueco entre las placas, donde la corriente de conducción es cero y aumenta el flujo eléctrico.

\oint_C\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0\left(I_C+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right)

Verdadero o falso · Un campo de inducción magnética puede generarse a partir de la variación temporal de un campo eléctrico.

Verdadera. En una región del vacío sin corriente de conducción, $\vec J=0$ . La ley de Ampère-Maxwell vincula la variación temporal de $\vec E$ con el rotacional de $\vec B$ , que mide su circulación local.

\nabla\times\vec B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}

En el capacitor en carga, elegí «Cable y entre placas» y luego «Entre las placas». La corriente de conducción en el hueco vale cero. El flujo eléctrico cambia durante la carga y la corriente de desplazamiento $I_D=\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$ aporta la circulación magnética que muestra el simulador.

Punto 2.a del parcial

Los cables llegan a los centros de las placas por el eje z y la corriente de carga disminuye exponencialmente. En el dibujo, la corriente de desplazamiento apunta hacia vos (+z). Ubicá un punto entre las placas, respondé la afirmación y reproducí la carga.

Capacitor circular en carga

El modelo usa placas circulares ideales y desprecia los efectos de borde. Para la animación elegimos un radio R = 10 cm, una corriente inicial I₀ = 500 mA y una constante de tiempo τ = 2 s.

Para un punto a radio fijo mayor que cero, el campo magnético tiene dirección radial y su módulo disminuye exponencialmente con el tiempo.

Radio del punto PÁngulo de P

Tiempo

Contorno de radio r Vector radial

Corriente I(t): 500 mA
Corriente de desplazamiento: 180 mA

El disco encerrado por el contorno abarca una fracción (r/R)² de la placa.

Justificación paso a paso

1. Calculá el aporte que cruza el disco

Las placas circulares tienen radio $R$ . En el modelo ideal despreciamos los efectos de borde, así que el campo eléctrico es uniforme en el hueco. En toda la placa se cumple $Q=\varepsilon_0 E\pi R^2$ e $I=dQ/dt$ . Para un disco de radio $r\le R$ , tomamos solo el flujo que atraviesa su área $\pi r^2$ .

I_D(r,t)=\varepsilon_0\frac{d}{dt}\big(E(t)\pi r^2\big)=I(t)\frac{r^2}{R^2}

2. Ubicá el campo con la regla de la mano derecha

Apuntá el pulgar en el sentido de la corriente de desplazamiento, a lo largo del eje del capacitor. Los dedos rodean el eje y dan el sentido de $\vec B$ . El vector es tangente al círculo en $P$ y, por simetría, tiene el mismo módulo en toda esa circunferencia. Entre las placas, la corriente de conducción que cruza el disco vale cero.

\oint_{C_r}\vec B\cdot d\vec\ell=2\pi r\,B=\mu_0 I_D(r,t)

3. Compará el módulo a distintos tiempos

Al reemplazar la corriente del parcial, la afirmación resulta falsa por la dirección del campo. La parte sobre la intensidad es correcta. Para un punto fijo fuera del eje, el módulo conserva el mismo factor exponencial de la corriente. En el eje, el módulo vale cero por simetría.

B(r,t)=\frac{\mu_0 I_0 r}{2\pi R^2}\,e^{-t/\tau}\qquad(0<r\le R)

Forma diferencial

La densidad de corriente $\vec J$ indica la corriente por unidad de área. El rotacional de $\vec B$ recibe tanto ese aporte como el del campo eléctrico que cambia en el tiempo.

\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}

De las leyes a las ondas

En el vacío sin cargas ni corrientes, Faraday y Ampère-Maxwell relacionan cómo cambian los dos campos. De esas ecuaciones sale una onda que se propaga a la velocidad de la luz.

Ondas electromagnéticas y polarización →