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Ejercicio gratuito de CPI y modelos matemáticos

Leé el enunciado y abrí cada paso de la resolución.

EJERCICIO GRATUITO

Modelo de primer orden con controlador PI

Una planta de primer orden tiene G(s) = 2/(5s + 1).

Se conecta un controlador PI C(s) = Kp + Ki/s, con Kp = 2 y Ki = 1 s⁻¹, mediante realimentación negativa unitaria.

La consigna es un escalón unidad. Suponé un sistema lineal sin saturación.

Obtené la función de transferencia en lazo cerrado, sus polos y el error estacionario. Compará el resultado con un controlador solo proporcional de Kp = 2.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Lazo de realimentación negativa: la consigna escalón entra al sumador con signo positivo, la salida vuelve al signo negativo por H(s) = 1; el error pasa por C(s) = 2 + 1/s y por G(s) = 2/(5s + 1).

Razonalo paso a paso.

1. Escribí el controlador y el error

En el sumador, la salida medida se resta de la consigna: e(t) = r(t) − y(t).

Reemplazá Kp y Ki en el PI. El término integral introduce un polo en el origen del lazo abierto.

C(s)=2+1s=2s+1sC(s)=2+\frac{1}{s}=\frac{2s+1}{s}
2. Formá el lazo abierto

Multiplicá controlador y planta antes de cerrar la realimentación. Conservá el factor s del integrador en el denominador.

L(s)=C(s)G(s)=2(2s+1)s(5s+1)L(s)=C(s)G(s)=\frac{2(2s+1)}{s(5s+1)}
3. Cerrá la realimentación negativa

Para H(s) = 1, la transferencia entre consigna y salida es L/(1+L).

Al sumar las fracciones, el denominador cerrado se obtiene de s(5s+1)+2(2s+1).

T(s)=L(s)1+L(s)T(s)=4s+25s2+5s+2\begin{gathered}T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}\\[3pt]T(s)=\frac{4s+2}{5s^2+5s+2}\end{gathered}

Transferencia cerrada: T(s) = (4s + 2)/(5s² + 5s + 2).

4. Hallá los polos y comprobá estabilidad

Igualá a cero el denominador cerrado. El discriminante es negativo, por lo que hay dos polos complejos conjugados.

Ambos tienen parte real negativa; el teorema del valor final se puede aplicar.

Δ=52−4(5)(2)=−15s1,2=−5±j1510s1,2≈−0,500±j 0,387  s−1\begin{gathered}\Delta=5^2-4(5)(2)=-15\\[3pt]s_{1,2}=\frac{-5\pm j\sqrt{15}}{10}\\[3pt]s_{1,2}\approx-0{,}500\pm j\,0{,}387\;\mathrm{s}^{-1}\end{gathered}

Polos estables: −0,500 ± j 0,387 s⁻¹.

5. Calculá el error estacionario con PI

Para un escalón unidad, R(s) = 1/s y E(s) = R(s)/(1+L(s)).

Como L(s) contiene un integrador, su ganancia tiende a infinito cuando s tiende a cero. El error final es nulo en el modelo indicado.

e∞,PI=lim⁡s→0sE(s)e∞,PI=lim⁡s→011+L(s)=0\begin{gathered}e_{\infty,\mathrm{PI}}=\lim_{s\to0}sE(s)\\[3pt]e_{\infty,\mathrm{PI}}=\lim_{s\to0}\frac{1}{1+L(s)}=0\end{gathered}

PI: y∞ = 1 y e∞ = 0.

6. Cerrá el lazo solo proporcional

Retirá el término integral y mantené Kp = 2. Calculá primero el lazo abierto y luego la transferencia cerrada con la misma realimentación.

Su único polo está en s = −1 s⁻¹, por lo que también es estable.

LP(s)=45s+1TP(s)=45s+5=0,8s+1\begin{gathered}L_{\mathrm P}(s)=\frac{4}{5s+1}\\[3pt]T_{\mathrm P}(s)=\frac{4}{5s+5}=\frac{0{,}8}{s+1}\end{gathered}
7. Compará las salidas y los errores

El lazo proporcional tiene L_P(0) = 4. Aplicá el teorema del valor final al error de un escalón unidad.

En el gráfico, la salida con P se acerca a 0,8 y queda 0,2 por debajo de la consigna. Con PI termina en 1; su pequeño sobrepaso es transitorio.

e∞,P=11+LP(0)=15=0,20e∞,PI=0\begin{gathered}e_{\infty,\mathrm P}=\frac{1}{1+L_{\mathrm P}(0)}=\frac15=0{,}20\\[3pt]e_{\infty,\mathrm{PI}}=0\end{gathered}

Error final: PI = 0; P = 0,20 (20 % del escalón).

Respuestas al escalón calculadas: PI alcanza y igual a 1 después de un sobrepaso transitorio; P se aproxima a y igual a 0,8 y conserva error 0,2 respecto de la consigna 1.