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Leé el enunciado y abrí cada paso de la resolución.
Una planta de primer orden tiene G(s) = 2/(5s + 1).
Se conecta un controlador PI C(s) = Kp + Ki/s, con Kp = 2 y Ki = 1 s⁻¹, mediante realimentación negativa unitaria.
La consigna es un escalón unidad. Suponé un sistema lineal sin saturación.
Obtené la función de transferencia en lazo cerrado, sus polos y el error estacionario. Compará el resultado con un controlador solo proporcional de Kp = 2.
Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.
En el sumador, la salida medida se resta de la consigna: e(t) = r(t) − y(t).
Reemplazá Kp y Ki en el PI. El término integral introduce un polo en el origen del lazo abierto.
Multiplicá controlador y planta antes de cerrar la realimentación. Conservá el factor s del integrador en el denominador.
Para H(s) = 1, la transferencia entre consigna y salida es L/(1+L).
Al sumar las fracciones, el denominador cerrado se obtiene de s(5s+1)+2(2s+1).
Transferencia cerrada: T(s) = (4s + 2)/(5s² + 5s + 2).
Igualá a cero el denominador cerrado. El discriminante es negativo, por lo que hay dos polos complejos conjugados.
Ambos tienen parte real negativa; el teorema del valor final se puede aplicar.
Polos estables: −0,500 ± j 0,387 s⁻¹.
Para un escalón unidad, R(s) = 1/s y E(s) = R(s)/(1+L(s)).
Como L(s) contiene un integrador, su ganancia tiende a infinito cuando s tiende a cero. El error final es nulo en el modelo indicado.
PI: y∞ = 1 y e∞ = 0.
Retirá el término integral y mantené Kp = 2. Calculá primero el lazo abierto y luego la transferencia cerrada con la misma realimentación.
Su único polo está en s = −1 s⁻¹, por lo que también es estable.
El lazo proporcional tiene L_P(0) = 4. Aplicá el teorema del valor final al error de un escalón unidad.
En el gráfico, la salida con P se acerca a 0,8 y queda 0,2 por debajo de la consigna. Con PI termina en 1; su pequeño sobrepaso es transitorio.
Error final: PI = 0; P = 0,20 (20 % del escalón).
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