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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Ondas Mecánicas

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

Una cuerda de banjo de 30 cm de largo oscila en un patrón de onda estacionaria. Resuena en su modo fundamental a 256 Hz. ¿Cuál es la tensión en la cuerda si 80 cm de ésta tienen una masa de 0,75 g?

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de Ondas Mecánicas
Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de Ondas Mecánicas

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Resonancia de una cuerda al cambiar la tensión

Una cuerda de 1,0 m y densidad lineal μ = 0,010 kg/m está fija en sus extremos. La tensa una masa colgante de 10 kg; luego se reemplaza por otra de 40 kg. Usá g = 10 m/s² y v = √(T/μ). Un excitador se mantiene a 150 Hz.

Hallá la frecuencia del tercer modo al inicio, sus nodos y decidí si 150 Hz sigue siendo una frecuencia resonante después del cambio.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Extremos fijos, Cuerda, Masa tensora. Datos: L = 1,0 m; μ = 0,010 kg/m; 10 kg → 40 kg; f excitador = 150 Hz.
Deslizá para ver el esquema completo →

Razonalo paso a paso.

1. Delimitá el sistema y el modelo

Analizá la cuerda entre sus extremos fijos. Tomá el eje longitudinal positivo de un extremo al otro y el desplazamiento transversal positivo hacia arriba. La cuerda es ideal para la propagación indicada; en cada estado, la masa colgante fija la tensión.

x∈[0,L],y(0,t)=y(L,t)=0,T=mgx\in[0,L],\qquad y(0,t)=y(L,t)=0,\qquad T=mg
2. Calculá rapidez y tercer modo inicial

La tensión de la primera masa produce cierta rapidez de onda. Para extremos fijos, el tercer modo tiene tres vientres y cuatro nodos, contando los extremos.

T1=100 N,v1=T1/μ=100 m/sf3,1=3v12L=150 Hz\begin{aligned}T_1&=100\,\mathrm N,&v_1&=\sqrt{T_1/\mu}=100\,\mathrm{m/s}\\f_{3,1}&=\frac{3v_1}{2L}=150\,\mathrm{Hz}\end{aligned}
3. Ubicá los nodos

En el tercer modo, los nodos dividen la longitud en tres partes iguales.

xn∈{0,L3,2L3,L}={0,13,23,1} mx_n\in\left\{0,\frac L3,\frac{2L}3,L\right\}=\left\{0,\frac13,\frac23,1\right\}\,\mathrm m
4. Recalculá al cambiar la tensión

La segunda masa cuadruplica la tensión; la rapidez de onda se duplica.

T2=400 N,v2=T2/μ=200 m/sT_2=400\,\mathrm N,\qquad v_2=\sqrt{T_2/\mu}=200\,\mathrm{m/s}
5. Comprobá la nueva resonancia

Una frecuencia excitadora es resonante solo si coincide con algún modo de índice entero positivo. El valor pedido queda entre los dos primeros modos.

fn,2=nv22L=100n Hz,n∈N+;150 Hz≠100n Hzf_{n,2}=\frac{nv_2}{2L}=100n\,\mathrm{Hz},\quad n\in\mathbb N^+;\qquad 150\,\mathrm{Hz}\ne100n\,\mathrm{Hz}