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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Hidrostática y Compuertas

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

La compuerta AB de la Figura P2.61 es una masa homogénea de 180 kg, 1,2 m de anchura, articulada en A y apoyada sobre B. Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. ¿A qué profundidad del agua h se anula la fuerza en el punto B?

Imagen del enunciado de Parcial resuelto de Hidrostática y Compuertas

Resolución en hojas

Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de Hidrostática y Compuertas
Hoja 3Hoja 3 de Parcial resuelto de Hidrostática y Compuertas
Hoja 4Hoja 4 de Parcial resuelto de Hidrostática y Compuertas
Hoja 5Hoja 5 de Parcial resuelto de Hidrostática y Compuertas

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Compuerta vertical con bisagra

Una compuerta rectangular vertical de ancho 2,0 m y altura 3,0 m retiene agua hasta su borde superior. Tiene una bisagra horizontal en ese borde y un cable horizontal unido al borde inferior, anclado del lado del agua. Usá ρ = 1000 kg/m³ y g = 10 m/s². Despreciá el peso de la compuerta.

Calculá la fuerza hidrostática, su punto de aplicación bajo la superficie y la tensión necesaria en el cable para que la compuerta no se abra.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Superficie libre, Bisagra superior, Cable inferior hacia el agua. Datos: ancho = 2,0 m; alto = 3,0 m; ρ = 1000 kg/m³.
Deslizá para ver el esquema completo →

Razonalo paso a paso.

1. Colocá el sistema de referencia

Ubicá el origen en la superficie libre, a la altura de la bisagra. Tomá x horizontal hacia el lado sin agua e y vertical positiva hacia abajo, a lo largo de la compuerta. Una franja horizontal de espesor dy tiene área dA = b dy. Es decir, la compuerta la dividimos en franjas pequenas, muchas. Usamos presión manométrica: del otro lado hay aire a presión atmosférica.

0≤y≤H=3,0 mb=2,0 m,dA=b dyP(y)=ρgy\begin{aligned}0&\le y\le H=3{,}0\,\mathrm{m}\\b&=2{,}0\,\mathrm{m},\qquad dA=b\,dy\\P(y)&=\rho gy\end{aligned}

La presión aumenta linealmente desde cero en la bisagra hasta 30 kPa en el borde inferior.

2. Calculá la fuerza resultante sobre la compuerta

La presión sobre cada franja produce un empuje horizontal dF = P(y)dA. Integrá desde la superficie libre hasta el borde inferior; así no confundís la presión variable con una presión uniforme.

FR=∫AP dA=ρgb∫0Hy dy=ρgbH22=(1000)(10)(2,0)(3,0)22 N=90 000 N=90 kN\begin{aligned}F_R&=\int_A P\,dA\\&=\rho gb\int_0^H y\,dy\\&=\frac{\rho gbH^2}{2}\\&=\frac{(1000)(10)(2{,}0)(3{,}0)^2}{2}\,\mathrm{N}\\&=90\,000\,\mathrm{N}=90\,\mathrm{kN}\end{aligned}

El empuje resultante es de 90 kN, horizontal hacia el lado sin agua.

3. Ubicá la fuerza resultante

La fuerza resultante hace un torque respecto a la bisagra que tiene un valor determinado. Todas las fuerzas sobre las franjas tienen una distancia a la bisagra. Si integramos cada fuerza por su distancia a la bisagra, conseguimos el momento de ellas. Si sumamos todos los momentos, nos da igual al momento producido por la fuerza resultante Fres. Por eso multiplicamos cada dF por su distancia y antes de integrar.

FRyR=∫Ay P(y) dA=ρgb∫0Hy2 dyyR=ρgbH3/3ρgbH2/2=2H3=2(3,0 m)3=2,0 m\begin{aligned}F_Ry_R&=\int_A y\,P(y)\,dA\\&=\rho gb\int_0^H y^2\,dy\\y_R&=\frac{\rho gbH^3/3}{\rho gbH^2/2}\\&=\frac{2H}{3}\\&=\frac{2(3{,}0\,\mathrm{m})}{3}=2{,}0\,\mathrm{m}\end{aligned}

El empuje actúa 2,0 m bajo la superficie y la bisagra; queda a 1,0 m del borde inferior.

4. Equilibrá los momentos respecto de la bisagra

Tomá positivo el giro que provoca el agua. El cable tira hacia el lado del agua y produce el giro opuesto. La reacción de la bisagra no genera momento alrededor de la propia bisagra; el peso de la hoja se desprecia.

∑Mbisagra=0FRyR−TH=0T=FRyRH=(90 kN)(2,0 m)3,0 m=60 kN\begin{aligned}\sum M_{\mathrm{bisagra}}&=0\\F_Ry_R-TH&=0\\T&=\frac{F_Ry_R}{H}\\&=\frac{(90\,\mathrm{kN})(2{,}0\,\mathrm{m})}{3{,}0\,\mathrm{m}}\\&=60\,\mathrm{kN}\end{aligned}

La tensión necesaria es de 60 kN hacia el lado del agua.