FOCUS Centro de EstudiosCARRITO
BIBLIOTECA FOCUS

Elegí tu próximo tema.

8 materias · 89 temas · 412 ejercicios

ELEGÍ CÓMO QUERÉS ESTUDIAR

Abrí la sección que necesitás.

PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de MAS- Analisis completo

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

Un objeto de 50 g está conectado a un resorte de constante elástica de 35 N/m y oscila sobre una superficie horizontal sin fricción, con un estiramiento máximo de 5 cm.

a) Escriba la ecuación que describe la posición del objeto en función del tiempo, aclarando los valores de la amplitud (A), la frecuencia angular (ω) y la fase inicial (ϕ). Asuma que en el instante inicial (t=0s), el objeto se encuentra en x=A.

b) Determine la velocidad máxima y la aceleración máxima del sistema.

c) Determine la energía cinética y la energía potencial cuando la posición es de 3 cm.

Imagen del enunciado de Parcial resuelto de MAS- Analisis completo

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de MAS- Analisis completo
Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de MAS- Analisis completo
Hoja 3Hoja 3 de Parcial resuelto de MAS- Analisis completo

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Movimiento armónico de un bloque con resorte

Un bloque de 0,50 kg está unido a un resorte ideal de k = 200 N/m sobre una mesa sin rozamiento. Se separa 0,10 m del equilibrio y se suelta desde el reposo.

Hallá la frecuencia angular, la rapidez máxima y la rapidez cuando x = 0,060 m.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Resorte, Equilibrio x = 0, Bloque en x₀. Datos: m = 0,50 kg; k = 200 N/m; x₀ = +0,10 m; v₀ = 0.

Razonalo paso a paso.

1. Definí el eje y las condiciones iniciales

Tomá el equilibrio como x = 0 y el eje positivo hacia la posición desde la que se suelta el bloque. La mesa es lisa. Al comienzo está en el extremo positivo, separado una amplitud A del equilibrio, y se suelta desde el reposo.

+x: →,x0=+A=+0,10 m,v0=0+x:\ \rightarrow,\qquad x_0=+A=+0{,}10\,\mathrm m,\qquad v_0=0
2. Calculá la frecuencia angular

Para un bloque unido a un resorte ideal, obtené directamente la frecuencia angular con la constante elástica y la masa. Primero dividí k por m y luego tomá la raíz cuadrada.

ω=km=200 N/m0,50 kg=20 rad/s\begin{aligned}\omega&=\sqrt{\frac{k}{m}}\\&=\sqrt{\frac{200\,\mathrm{N/m}}{0{,}50\,\mathrm{kg}}}\\&=20\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}
3. Escribí la ecuación de posición

La posición de un movimiento armónico se expresa con un coseno y una fase inicial. Como x(0) = +A y v(0) = 0, la fase es cero. Sustituí la amplitud y la frecuencia angular ya calculada; t se mide en segundos.

x(t)=Acos⁡(ωt+φ)φ=0⟹x(t)=Acos⁡(ωt)x(t)=(0,10 m)cos⁡((20 rad/s)t)\begin{aligned}x(t)&=A\cos(\omega t+\varphi)\\\varphi&=0\quad\Longrightarrow\quad x(t)=A\cos(\omega t)\\x(t)&=(0{,}10\,\mathrm m)\cos\bigl((20\,\mathrm{rad/s})t\bigr)\end{aligned}
4. Derivá la posición para obtener la velocidad

La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo. Al derivar el coseno aparece un signo negativo y, por la regla de la cadena, un factor ω. Ese signo indica el sentido de movimiento durante el primer tramo.

v(t)=dxdt=−Aωsin⁡(ωt)=−(2,0 m/s)sin⁡((20 rad/s)t)\begin{aligned}v(t)&=\frac{dx}{dt}\\&=-A\omega\sin(\omega t)\\&=-(2{,}0\,\mathrm{m/s})\sin\bigl((20\,\mathrm{rad/s})t\bigr)\end{aligned}
5. Derivá la velocidad para obtener la aceleración

Volvé a derivar, ahora la velocidad. La derivada del seno es el coseno y vuelve a aparecer ω por la regla de la cadena. En t = 0, la aceleración es negativa: el resorte tira al bloque hacia el equilibrio.

a(t)=dvdt=−Aω2cos⁡(ωt)=−(40 m/s2)cos⁡((20 rad/s)t)\begin{aligned}a(t)&=\frac{dv}{dt}\\&=-A\omega^2\cos(\omega t)\\&=-(40\,\mathrm{m/s^2})\cos\bigl((20\,\mathrm{rad/s})t\bigr)\end{aligned}
6. Encontrá la rapidez máxima desde v(t)

La rapidez es el módulo de la velocidad. Su valor es máximo cuando el módulo del seno vale 1. En el primer máximo después de soltar el bloque, sen(ωt) = 1: la velocidad es negativa porque va hacia el equilibrio, pero la rapidez es positiva.

∣v(t)∣=Aω∣sin⁡(ωt)∣sin⁡(ωt)=1⟹v=−Aω=−2,0 m/s∣v∣max⁡=Aω=2,0 m/s\begin{aligned}|v(t)|&=A\omega|\sin(\omega t)|\\\sin(\omega t)&=1\quad\Longrightarrow\quad v=-A\omega=-2{,}0\,\mathrm{m/s}\\|v|_{\max}&=A\omega=2{,}0\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

La rapidez máxima es 2,0 m/s.

7. Hallá el primer instante en x = 0,060 m

Partí de la ecuación de posición, reemplazá x por 0,060 m y dividí por la amplitud. Tomá la solución del primer recorrido hacia el equilibrio, con 0 ≤ ωt ≤ π/2, y despejá el tiempo con arccos.

0,060 m=(0,10 m)cos⁡(ωt)cos⁡(ωt)=0,60t=arccos⁡(0,60)20 rad/s≈0,04636 s\begin{aligned}0{,}060\,\mathrm m&=(0{,}10\,\mathrm m)\cos(\omega t)\\\cos(\omega t)&=0{,}60\\t&=\frac{\arccos(0{,}60)}{20\,\mathrm{rad/s}}\\&\approx0{,}04636\,\mathrm s\end{aligned}
8. Reemplazá ese tiempo en v(t)

Llevá el primer instante obtenido a la función velocidad. El signo negativo confirma que el bloque va hacia el equilibrio. Como el enunciado pide rapidez, informá el módulo.

v(0,04636 s)=−(2,0 m/s)sin⁡((20 rad/s)(0,04636 s))≈−1,60 m/s∣v∣=1,60 m/s\begin{aligned}v(0{,}04636\,\mathrm s)&=-(2{,}0\,\mathrm{m/s})\sin\bigl((20\,\mathrm{rad/s})(0{,}04636\,\mathrm s)\bigr)\\&\approx-1{,}60\,\mathrm{m/s}\\|v|&=1{,}60\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

En el primer paso por x = 0,060 m, la rapidez es 1,60 m/s.