BIBLIOTECA FOCUS

Elegí tu próximo tema.

8 materias · 89 temas · 412 ejercicios

ELEGÍ CÓMO QUERÉS ESTUDIAR

Abrí la sección que necesitás.

PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Flujo Compresible

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

En un punto aguas arriba de la garganta de una tobera convergente-divergente las propiedades son V₁ = 200 m/s, T₁ = 300 K y p₁ = 125 kPa. Si el flujo de salida es supersónico, calcule mediante la teoría isentrópica (a) ṁ y (b) A₁. El área de la garganta es de 35 cm²

Resolución en hojas

Hoja 1

Hoja 2

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Tobera convergente: condición crítica

Un depósito alimenta una tobera convergente con aire ideal. En el depósito, la presión y la temperatura de estancamiento son P₀ = 500 kPa absolutos y T₀ = 300 K. La presión ambiente aguas abajo (contrapresión) es P_b = 200 kPa absolutos. El área mínima, que coincide con la salida, es A* = 2,0 cm². Tomá k = 1,40 y R = 287 J/(kg·K). Suponé flujo permanente, adiabático e isentrópico dentro de la tobera, velocidad despreciable en el depósito y cambios de altura despreciables.

Determiná si el flujo se estrangula. Hallá la presión y la temperatura en la salida, la velocidad y el caudal másico.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Depósito de aire, Tobera convergente, Ambiente aguas abajo. Datos: P₀ = 500 kPa abs.; T₀ = 300 K; P_b = 200 kPa abs. (contrapresión); A* = 2,0 cm² en la salida.

Razonalo paso a paso.

1. Ubicá el depósito, la salida y la contrapresión

El subíndice 0 indica condiciones de estancamiento en el depósito. Como la tobera es solamente convergente, el área mínima A* está en su plano de salida. P_b pertenece al ambiente exterior: todavía no sabemos si coincide con la presión estática P* dentro de la salida.

Todas las presiones del problema son absolutas. Convertí el área a metros cuadrados antes de calcular el caudal.

\begin{gathered}P_0=500\,\mathrm{kPa},\quad T_0=300\,\mathrm K\\P_b=200\,\mathrm{kPa},\quad A^*=2{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}\end{gathered}

2. Calculá la presión crítica

Para aire ideal en una expansión isentrópica, la sección de Mach 1 tiene la relación crítica de presiones indicada abajo. Evaluála con k = 1,40 y multiplicá por la presión de estancamiento.

\begin{gathered}\frac{P^*}{P_0}=\left(\frac{2}{k+1}\right)^{k/(k-1)}\\=\left(\frac{2}{2{,}40}\right)^{3{,}5}\approx0{,}5283\\P^*\approx(0{,}5283)(500)=264{,}1\,\mathrm{kPa}\end{gathered}

Presión crítica: aproximadamente 264 kPa absolutos.

3. Compará con la contrapresión

La contrapresión es menor que la presión crítica. Por eso el aire alcanza Mach 1 en la salida y el caudal queda estrangulado.

Los 200 kPa son la presión exterior, no la presión estática en el plano de salida. Dentro de la tobera, P_salida = P* ≈ 264 kPa; el chorro se ajusta a P_b fuera de ella.

\begin{gathered}\frac{P_b}{P_0}=\frac{200}{500}=0{,}400<0{,}5283\\M^*=1,\qquad P_{\rm salida}=P^*\end{gathered}

Flujo estrangulado; salida sónica a unos 264 kPa.

4. Hallá la temperatura de salida

En la sección sónica usá la relación crítica de temperaturas. La temperatura estática de salida resulta menor que la de estancamiento del depósito.

\begin{gathered}\frac{T^*}{T_0}=\frac{2}{k+1}=\frac{2}{2{,}40}\\T^*=300\frac{2}{2{,}40}=250\,\mathrm K\end{gathered}

Temperatura estática de salida: 250 K.

5. Obtené la velocidad desde el balance de energía

Para el volumen de control de la tobera en régimen permanente, no hay calor ni trabajo de eje. Escribí la energía específica e como entalpía, energía cinética y potencial.

En el depósito V₀ ≈ 0 y el cambio de altura es despreciable. Al cancelar esos términos queda la caída de entalpía convertida en energía cinética.

Con c_p = kR/(k−1), comprobá que esta velocidad coincide con la velocidad local del sonido porque M* = 1.

\begin{gathered}0=\cancel{\dot Q}-\cancel{\dot W}+\dot m(e_0-e^*)\\e_0=h_0+\cancel{\frac{V_0^2}{2}}+\cancel{gz_0}\\e^*=h^*+\frac{(V^*)^2}{2}+\cancel{gz^*}\\\frac{(V^*)^2}{2}=c_p(T_0-T^*)\\c_p=\frac{kR}{k-1}=1004{,}5\,\mathrm{J/(kg\,K)}\\V^*=\sqrt{2(1004{,}5)(300-250)}\\\approx316{,}9\,\mathrm{m/s}\end{gathered}

Velocidad de salida: aproximadamente 317 m/s (Mach 1).

6. Calculá la densidad en la garganta

Usá las propiedades estáticas de la sección sónica en la ecuación de gas ideal. Para conservar las unidades, pasá P* a pascales.

\begin{gathered}\rho^*=\frac{P^*}{RT^*}\\=\frac{264140\,\mathrm{Pa}}{(287)(250)}\\\approx3{,}681\,\mathrm{kg/m^3}\end{gathered}

Densidad en la salida: aproximadamente 3,68 kg/m³.

7. Cerrá con continuidad y el caudal másico

El mismo caudal cruza toda la tobera. Evaluá continuidad en el área mínima con la densidad y la velocidad que acabás de hallar. Una reducción adicional de P_b no aumenta este caudal mientras se mantengan las condiciones de estancamiento y el modelo ideal.

\begin{gathered}\dot m=\rho^* A^* V^*\\=(3{,}681)(2{,}0\times10^{-4})(316{,}9)\\\approx0{,}233\,\mathrm{kg/s}\end{gathered}

Caudal másico estrangulado: aproximadamente 0,233 kg/s.

8. Resolvé también con la Tabla A-32

Con la tabla A-32: leé la fila sónica

Esta es una segunda resolución, usando la Tabla A-32 «Funciones de flujo compresible unidimensional e isentrópico de un gas ideal con k = 1,4» del Apéndice 1 de Çengel, octava edición (página impresa 954). Entrá por la columna Ma y buscá la fila 1,0, porque el área mínima de una tobera convergente puede alcanzar Mach 1. Leé horizontalmente A/A*, P/P₀, ρ/ρ₀ y T/T₀, marcadas en rojo. La columna Ma* es otra magnitud de la tabla y no se necesita en este ejercicio. No interpolamos: la fila está tabulada exactamente.

\begin{array}{c|cccc}Ma & A/A^* & P/P_0 & \rho/\rho_0 & T/T_0\\\hline 1{,}0 & 1{,}0000 & 0{,}5283 & 0{,}6339 & 0{,}8333\end{array}

Con la tabla: comprobá el estrangulamiento y hallá la presión

Compará la contrapresión relativa con la relación crítica que acabás de leer. Como 0,400 es menor que 0,5283, el flujo se estrangula y la salida coincide con A*. La presión estática de salida se obtiene multiplicando la relación tabulada por P₀. La contrapresión de 200 kPa corresponde al exterior. El ajuste desde 264,15 hasta 200 kPa ocurre fuera de la tobera.

\begin{aligned}\frac{P_b}{P_0}&=\frac{200}{500}=0{,}400<0{,}5283\\P_{\rm salida}=P^*&=(P^*/P_0)P_0\\&=(0{,}5283)(500)=264{,}15\,\mathrm{kPa}\end{aligned}

Con la tabla: obtené temperatura y velocidad

La misma fila da T*/T₀ = 0,8333. Multiplicá por los 300 K del depósito para obtener la temperatura estática de salida. Como la tabla indica Mach 1, la velocidad de salida es igual a la velocidad local del sonido, calculada con k, R y la temperatura recién obtenida.

\begin{aligned}T^*&=(T^*/T_0)T_0=(0{,}8333)(300)=249{,}99\approx250\,\mathrm K\\V^*&=M^*\sqrt{kRT^*}\\&=(1)\sqrt{(1{,}40)(287)(249{,}99)}\\&\approx316{,}9\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

Con la tabla: obtené densidad y caudal

Primero calculá la densidad de estancamiento con la ecuación de gas ideal. Luego aplicá el cociente ρ*/ρ₀ = 0,6339 leído en la Tabla A-32. Finalmente, multiplicá la densidad y la velocidad estáticas por el área mínima. Las pequeñas diferencias en la última cifra provienen del redondeo de la tabla.