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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Semejanza

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

Un modelo a escala un quinceavo de un paracaídas tiene una resistencia de 450 lbf cuando se ensaya en un túnel de agua a 20 ft/s. Si los efectos del número de Reynolds son despreciables, determine la velocidad límite de caída de una paracaidista que utiliza el prototipo a 5000 ft de altura estándar si ella y su equipo pesan 160 lbf. Considere despreciable el coeficiente de resistencia de la mujer.

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de Semejanza

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Área frontal de un modelo aerodinámico

Un vehículo prototipo de longitud Lp = 4,80 m y área frontal Ap = 2,40 m² avanza a Vp = 25,0 m/s en aire de densidad ρ = 1,20 kg/m³ y viscosidad dinámica μ = 1,80×10⁻⁵ Pa·s. Su fuerza de arrastre es FD,p = 450 N. Se construirá un modelo geométricamente semejante de longitud Lm = 1,20 m y se lo ensayará en el mismo aire. Para que el ensayo represente al prototipo deben cumplirse Re_m = Re_p y CD,m = CD,p. Despreciá efectos de bloqueo.

Calculá el área frontal que debe tener el modelo, la velocidad necesaria en el túnel y la fuerza de arrastre que debería medir la balanza.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Prototipo, Re iguales · CD iguales, Modelo geométrico 1:4. Datos: Lp = 4,80 m; Ap = 2,40 m²; Lm = 1,20 m; mismo aire; Vp = 25 m/s; FD,p = 450 N.
Deslizá para ver el esquema completo →

Razonalo paso a paso.

1. Calculá la escala lineal

Compará una longitud del modelo con la longitud correspondiente del prototipo.

λ=LmLp=1,204,80=14\lambda=\frac{L_m}{L_p}=\frac{1{,}20}{4{,}80}=\frac14

El modelo tiene una escala lineal 1:4.

2. Determiná el área frontal del modelo

En cuerpos geométricamente semejantes, las áreas cambian con el cuadrado de la escala lineal. Esta relación geométrica determina el área frontal; la igualdad de Reynolds determinará después la velocidad.

AmAp=λ2=(14)2=116Am=Apλ2=(2,40)(14)2Am=0,150 m2\begin{aligned} \frac{A_m}{A_p}&=\lambda^2=\left(\frac14\right)^2=\frac1{16}\\ A_m&=A_p\lambda^2=(2{,}40)\left(\frac14\right)^2\\ A_m&=0{,}150\,\mathrm{m^2} \end{aligned}

El modelo debe tener un área frontal de 0,150 m².

3. Igualá los números de Reynolds

Como el modelo y el prototipo trabajan con el mismo aire, la densidad y la viscosidad se cancelan al igualar los Reynolds.

Rem=Rep⇒ρVmLmμ=ρVpLpμVmLm=VpLpVm=VpLpLm=(25,0)4,801,20Vm=100 m/s\begin{aligned} Re_m=Re_p&\Rightarrow\frac{\rho V_mL_m}{\mu}=\frac{\rho V_pL_p}{\mu}\\ V_mL_m&=V_pL_p\\ V_m&=V_p\frac{L_p}{L_m}=(25{,}0)\frac{4{,}80}{1{,}20}\\ V_m&=100\,\mathrm{m/s} \end{aligned}

El túnel debe operar a 100 m/s para igualar Reynolds.

4. Usá la igualdad de coeficientes de arrastre

Calculá primero el coeficiente del prototipo. Con Reynolds iguales y semejanza geométrica, usá ese mismo coeficiente para predecir la lectura de la balanza del modelo.

CD,p=FD,p12ρVp2Ap=45012(1,20)(25,0)2(2,40)=0,500CD,m=CD,p=0,500FD,m=12ρVm2CD,mAm=12(1,20)(100)2(0,500)(0,150)=450 N\begin{aligned} C_{D,p}&=\frac{F_{D,p}}{\tfrac12\rho V_p^2A_p} =\frac{450}{\tfrac12(1{,}20)(25{,}0)^2(2{,}40)}=0{,}500\\ C_{D,m}&=C_{D,p}=0{,}500\\ F_{D,m}&=\frac12\rho V_m^2C_{D,m}A_m\\ &=\frac12(1{,}20)(100)^2(0{,}500)(0{,}150)=450\,\mathrm{N} \end{aligned}

La balanza debería medir 450 N. La velocidad aumenta cuatro veces y el área disminuye dieciséis veces; por eso, con el mismo aire y el mismo CD, la fuerza resulta igual.