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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Ecuaciones de Navier-Stokes

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

Sobre una cinta transportadora con pendiente 30° se desliza una placa cuadrada de 1 m de lado, que pesa 5 kg. Entre la cinta y la placa hay una lámina de aceite de 1 mm de espesor.

a) ¿A qué velocidad deberá moverse la cinta para que la placa se mantenga estática en su lugar? b) Grafique la distribución de velocidades y la de tensión de corte. c) ¿Cuánto vale la vorticidad en el punto medio entre la cinta y la placa?

Resolución en hojas

Hoja 1

Hoja 2

Hoja 3

Hoja 4

Hoja 5

Hoja 6

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Perfil de velocidades por fuerza sobre una placa

Un fluido newtoniano e incompresible de viscosidad dinámica μ = 0,10 Pa·s ocupa el espacio h = 0,010 m entre dos placas horizontales paralelas. La placa inferior está fija. Sobre la placa superior, de área A = 2,0 m², se aplica una fuerza horizontal F = 5,0 N hacia la derecha. El flujo es bidimensional, unidireccional y estacionario. No hay gradiente de presión ni fuerzas volumétricas en x. Despreciá los efectos de borde.

Encontrá el perfil de velocidades del fluido.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Fuerza sobre la placa, Fluido newtoniano, Placa inferior fija. Datos: F = 5,0 N; A = 2,0 m²; h = 0,010 m; μ = 0,10 Pa·s. — Deslizá para ver el esquema completo →

Razonalo paso a paso.

1. Colocá el sistema de referencia y las hipótesis

Ubicá el origen sobre la placa inferior. Tomá x positivo hacia la derecha e y positivo hacia arriba. El análisis será bidimensional, unidireccional y estacionario. Antes de aplicar continuidad, permití que la componente horizontal pueda depender de x e y.

\begin{aligned} &x:\ \text{hacia la derecha},\qquad y:\ \text{hacia arriba}\\ &\text{bidimensional:}\quad u=u(x,y)\\ &\text{unidireccional:}\quad \mathbf{V}=u(x,y)\,\mathbf{i},\qquad v=0\\ &\text{estacionario:}\quad \frac{\partial\mathbf{V}}{\partial t}=0\\ &0\le y\le h=0{,}010\,\mathrm{m} \end{aligned}

Todavía no suponemos que la velocidad horizontal sea independiente de x.

2. Planteá continuidad

Para un fluido incompresible bidimensional, continuidad exige que la divergencia de la velocidad sea nula. Como el flujo es unidireccional, la componente vertical y su derivada son nulas. La ecuación determina entonces que la componente horizontal no varía con x.

\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{V}&=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ v=0&\ \Rightarrow\ \frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \boxed{\frac{\partial u}{\partial x}=0}&\ \Rightarrow\ u=u(y) \end{aligned}

La conclusión de continuidad es que la velocidad horizontal depende solamente de y.

3. Planteá Navier–Stokes en el eje x

Partí de la ecuación completa en x. El carácter estacionario anula la derivada temporal; el resultado de continuidad anula las derivadas respecto de x; y la condición unidireccional anula la componente vertical. Tampoco hay gradiente de presión ni gravedad en x.

\begin{aligned} \rho\left(\underbrace{\frac{\partial u}{\partial t}}_{0}+u\underbrace{\frac{\partial u}{\partial x}}_{0}+\underbrace{v}_{0}\frac{\partial u}{\partial y}\right) &=-\underbrace{\frac{\partial P}{\partial x}}_{0}+\mu\left(\underbrace{\frac{\partial^2u}{\partial x^2}}_{0}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\right)+\underbrace{\rho g_x}_{0}\\ 0&=\mu\frac{d^2u}{dy^2} \end{aligned}

La curvatura del perfil es nula: el perfil debe ser lineal.

4. Integrá y aplicá la condición de la placa inferior

Integrá dos veces la ecuación diferencial. La condición de no deslizamiento anula la velocidad del fluido sobre la placa inferior fija.

\begin{aligned} \frac{d^2u}{dy^2}&=0\\ \frac{du}{dy}&=C_1\\ u(y)&=C_1y+C_2\\ u(0)=0&\ \Rightarrow\ C_2=0 \end{aligned}

La condición inferior elimina la constante aditiva.

5. Convertí la fuerza en tensión de corte

La fuerza aplicada sobre la placa superior se transmite al fluido como tensión de corte. Para un fluido newtoniano, esa tensión es μ du/dy; así podemos determinar la constante C₁.

\begin{aligned} \tau_w&=\frac{F}{A}=\frac{5{,}0\,\mathrm{N}}{2{,}0\,\mathrm{m^2}}=2{,}5\,\mathrm{Pa}\\ \tau_w&=\mu\frac{du}{dy}=\mu C_1\\ C_1&=\frac{2{,}5\,\mathrm{Pa}}{0{,}10\,\mathrm{Pa\,s}}=25\,\mathrm{s^{-1}} \end{aligned}

El gradiente de velocidad es constante e igual a 25 s⁻¹.

6. Escribí y comprobá el perfil

Sustituí C₁ en la expresión lineal. En la placa superior, y = h, el perfil también permite obtener la velocidad alcanzada en régimen permanente. Finalmente, verificá que la fuerza viscosa recupera los 5,0 N aplicados.