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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Momento Angular

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

Un cilindro macizo de radio 0.5 m y que gira a 6 rad/s alrededor de un eje queda adherido a otro cilindro que puede girar alrededor del mismo eje y que se encontraba en reposo. El roce entre cada eje y ambos cilindros es despreciable. Ambos cilindros tienen igual masa y radio, y el eje pasa por su centro de masa.

(a) Enunciar la ley de conservación del momento angular.

(b) Calcule la velocidad angular final del sistema.

(c) Calcular la energía cinética inicial y final del sistema, considerando este conformado por ambos cilindros. ¿Se conservó?

Imagen del enunciado de Parcial resuelto de Momento Angular

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de Momento Angular
Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de Momento Angular
Hoja 3Hoja 3 de Parcial resuelto de Momento Angular
Hoja 4Hoja 4 de Parcial resuelto de Momento Angular

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Plastilina sobre un disco giratorio

Visto desde arriba, un disco uniforme de 2 kg y radio 0,50 m gira libremente en sentido horario a 2 rad/s. Una bolita de plastilina de 0,20 kg llega tangencialmente al borde derecho, moviéndose hacia abajo a 5 m/s, y queda adherida. Despreciá el torque externo respecto del eje durante el impacto.

Hallá la velocidad angular final y la energía cinética perdida en el choque.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Disco horario visto desde arriba, Bolita hacia abajo, Contacto tangencial en el borde derecho. Datos: M = 2 kg; R = 0,50 m; ω₀ = 2 rad/s; m = 0,20 kg; v = 5 m/s.

Razonalo paso a paso.

1. Definí el sistema, el eje y los instantes

Elegí como sistema el disco y la bolita; tomá los instantes inmediatamente anterior y posterior al impacto. El eje O es fijo y perpendicular al disco. Mirando desde arriba, definí positivo el giro horario, es decir, el eje +z hacia dentro de la imagen. La bolita llega por la tangente derecha con velocidad hacia abajo: su momento angular tiene ese mismo signo.

+z: ⊗(hacia dentro de la imagen)+ω0=2 rad/s,r⃗×mv⃗: +z\begin{aligned}+z&:\ \otimes\quad\text{(hacia dentro de la imagen)}\\+\omega_0&=2\,\mathrm{rad/s},\qquad \vec r\times m\vec v:\ +z\end{aligned}
2. Aplicá el principio del momento angular

Partí de la ley para el sistema completo respecto del eje fijo O. Durante el brevísimo choque, el enunciado permite despreciar el torque externo alrededor de ese eje: su impulso angular es prácticamente cero. Las fuerzas de contacto entre disco y plastilina son internas y sus momentos se cancelan en el sistema total. Por eso se conserva la componente Lz entre los dos instantes, aunque la energía cinética no se conserve porque la bolita se pega.

dL⃗Odt=∑τ⃗O,extLf,z−Li,z=∫titf∑τO,ext,z dt≈0Li,z=Lf,z\begin{aligned}\frac{d\vec L_O}{dt}&=\sum\vec\tau_{O,\mathrm{ext}}\\L_{f,z}-L_{i,z}&=\int_{t_i}^{t_f}\sum\tau_{O,\mathrm{ext},z}\,dt\approx0\\L_{i,z}&=L_{f,z}\end{aligned}
3. Despejá la velocidad angular final

Continuá desde Li = Lf separando el aporte inicial de la bolita y el del disco. Usá m para la masa de la bolita y M para la del disco: Ib = mR² e Id = ½MR². El término Idωi no desaparece: antes del choque el disco ya giraba a 2 rad/s. Reemplazá ambas inercias, despejá ωf y recién entonces sustituí los datos. El signo positivo indica giro horario visto desde arriba.

Li,z=Lf,zLi,bolita,z+Li,disco,z=Lf,conjunto,zmvR+Idωi=(Ib+Id)ωfmvR+12MR2ωi=(mR2+12MR2)ωfωf=mvR+12MR2ωimR2+12MR2ωf=0,50+0,500,05+0,25 rad/sωf=103 rad/s≈3,33 rad/s\small\begin{gathered}L_{i,z}=L_{f,z}\\L_{i,\mathrm{bolita},z}+L_{i,\mathrm{disco},z}=L_{f,\mathrm{conjunto},z}\\mvR+I_d\omega_i=(I_b+I_d)\omega_f\\mvR+\tfrac12MR^2\omega_i\\{}=(mR^2+\tfrac12MR^2)\omega_f\\\omega_f=\frac{mvR+\tfrac12MR^2\omega_i}{mR^2+\tfrac12MR^2}\\\omega_f=\frac{0{,}50+0{,}50}{0{,}05+0{,}25}\,\mathrm{rad/s}\\\omega_f=\tfrac{10}{3}\,\mathrm{rad/s}\approx3{,}33\,\mathrm{rad/s}\end{gathered}

El conjunto gira a 3,33 rad/s en sentido horario.

4. Calculá la energía cinética perdida

Calculá la energía cinética justo antes: rotación del disco más traslación de la bolita. Justo después, ambos giran con I_f = I_b + I_d = 0,30 kg m². Restá final de inicial y redondeá al terminar. El momento angular sí se conservó; esta parte de energía cinética se transformó en deformación, calor y sonido durante el choque adhesivo.

Ecin,i=12Idω02+12mv2=12(0,25)(2)2+12(0,20)(5)2=3,00 JEcin,f=12Ifωf2=12(0,30)(103)2=53 JEcin,perdida=Ecin,i−Ecin,f=3−53=43 J≈1,33 J\begin{aligned}E_{\mathrm{cin},i}&=\tfrac12I_d\omega_0^2+\tfrac12mv^2\\&=\tfrac12(0{,}25)(2)^2+\tfrac12(0{,}20)(5)^2=3{,}00\,\mathrm J\\E_{\mathrm{cin},f}&=\tfrac12I_f\omega_f^2\\&=\tfrac12(0{,}30)\left(\tfrac{10}{3}\right)^2=\tfrac53\,\mathrm J\\E_{\mathrm{cin,perdida}}&=E_{\mathrm{cin},i}-E_{\mathrm{cin},f}\\&=3-\tfrac53=\tfrac43\,\mathrm J\approx1{,}33\,\mathrm J\end{aligned}

Durante el impacto se transforman 1,33 J de energía cinética.