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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Campo Magnético Completo

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

La corriente que circula por la espira es I = 2 A, y los radios b = 10 cm y a = 8 cm.

a) Calcule el campo magnético en P.

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de Campo Magnético Completo
Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de Campo Magnético Completo

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Campo magnético de un alambre infinito

Un alambre rectilíneo ideal e infinito coincide con el eje z y conduce una corriente constante I = 10 A en el sentido +z, saliendo de la página. En el vacío, el punto P está a 0,050 m del alambre sobre el semieje +x. Usá μ₀ = 4π×10⁻⁷ T·m/A.

Mediante la ley de Ampère, obtené el campo magnético a una distancia cualquiera r > 0 del alambre y calculá su módulo, dirección y sentido en P.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Alambre infinito en O, Corriente saliente (+z), P sobre +x. Datos: I = 10 A; rₚ = 0,050 m; vacío.

Razonalo paso a paso.

1. Definí el sistema y la ley de Ampère

Miramos el alambre de frente: +x apunta a la derecha, +y hacia arriba y +z sale de la página (⊙). El modelo es un hilo ideal; por eso calculamos el campo para r > 0. La ley de Ampère relaciona la circulación de B por una curva cerrada con la corriente que atraviesa una superficie apoyada en ella.

∮CB⃗⋅dℓ⃗=μ0IencI=10 A,rP=0,050 m\begin{gathered}\oint_{\mathcal C}\vec B\cdot\mathrm d\vec\ell=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}\\ I=10\,\mathrm A,\qquad r_P=0{,}050\,\mathrm m\end{gathered}
2. Reconocé la simetría cilíndrica

Trasladar la configuración a lo largo de z o girarla alrededor del alambre no cambia la fuente. Por eso el módulo de B solo puede depender de la distancia r al eje. La regla de la mano derecha para una corriente hacia +z muestra que B rodea el alambre en sentido antihorario: es tangente a circunferencias centradas en él.

B⃗(r)=B(r) φ^\vec B(r)=B(r)\,\hat\varphi
3. Elegí el camino amperiano

Tomá una circunferencia imaginaria C de radio r, centrada en el alambre y situada en el plano xy. Recorré C en sentido antihorario: por la regla de la mano derecha, su normal asociada apunta a +z. La corriente encerrada es I. En cada punto, dℓ y B son tangentes y paralelos; además, B tiene el mismo módulo sobre toda C.

dℓ⃗=r dφ φ^Ienc=I,0≤φ≤2π\begin{gathered}\mathrm d\vec\ell=r\,\mathrm d\varphi\,\hat\varphi\\ I_{\mathrm{enc}}=I,\qquad 0\leq\varphi\leq2\pi\end{gathered}
Camino amperiano circular imaginario centrado en el alambre de corriente saliente. En el punto P a la derecha, el campo magnético es tangente y apunta hacia arriba; el recorrido elegido es antihorario.
4. Desarrollá la integral de circulación

Sustituí los vectores en el producto escalar. Como φ̂·φ̂ = 1 y B(r) es constante a lo largo de esta circunferencia, puede salir de la integral. Integrar r dφ desde 0 hasta 2π da la longitud de la curva, 2πr. Esa simplificación es el motivo por el que Ampère resulta conveniente aquí.

∮CB⃗⋅dℓ⃗=∫02πB(r) r dφ=B(r)r[φ]02π=B(r) 2πr=μ0I\begin{gathered}\oint_{\mathcal C}\vec B\cdot\mathrm d\vec\ell\\ =\int_0^{2\pi}B(r)\,r\,\mathrm d\varphi\\ =B(r)r[\varphi]_0^{2\pi}\\ =B(r)\,2\pi r=\mu_0 I\end{gathered}
5. Despejá el campo y evaluá en P

Dividí por 2πr para obtener el campo a cualquier distancia positiva del hilo ideal. Luego reemplazá I = 10 A, rP = 0,050 m y μ₀. El resultado es 40 microteslas.

B(r)=μ0I2πrB(P)=(4π×10−7)(10)2π(0,050) TB(P)=4,0×10−5 TB(P)=40 μT\begin{gathered}B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\\ B(P)=\frac{(4\pi\times10^{-7})(10)}{2\pi(0{,}050)}\,\mathrm T\\ B(P)=4{,}0\times10^{-5}\,\mathrm T\\ B(P)=40\,\mathrm{\mu T}\end{gathered}

B(P) = 4,0×10⁻⁵ T = 40 μT.

6. Indicá la dirección y comprobá

En el punto P, situado a la derecha del alambre, la tangente antihoraria apunta hacia arriba (+y). El campo no sale de la página: quien apunta a +z es la corriente. Como control, la expresión B(r) es inversamente proporcional a r; al duplicar la distancia, el módulo se reduce a la mitad.

φ^(P)=y^B⃗(P)=(4,0×10−5 T)y^B(2r)=12B(r)\begin{gathered}\hat\varphi(P)=\hat y\\ \vec B(P)=(4{,}0\times10^{-5}\,\mathrm T)\hat y\\ B(2r)=\tfrac12 B(r)\end{gathered}

En P: 40 μT hacia arriba (+y).