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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Potencial Eléctrico

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

Suponga un cable conductor infinitamente largo y de radio B (macizo) cargado uniformemente con densidad lineal λ.

(a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio y grafique el módulo del campo eléctrico en función de la distancia al eje del cable.

(b) Calcule el potencial en todos los puntos del espacio y grafíquelo como función de la distancia al eje del cable. Justifique su elección del referencial.

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de Potencial Eléctrico
Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de Potencial Eléctrico

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Potencial de una esfera conductora cargada

Una esfera maciza conductora aislada de radio R = 0,20 m tiene una carga total Q = +8 nC y está en equilibrio electrostático en el vacío. Usá k = 9×10⁹ N·m²/C² y tomá V(∞) = 0.

Hallá V(r) en todo el espacio: interior, superficie y exterior. Explicá por qué el potencial es constante dentro de la esfera y comprobá que es continuo en r = R.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Esfera conductora, Carga en la superficie, Interior y exterior. Datos: R = 0,20 m; Q = +8 nC; V(∞) = 0.

Razonalo paso a paso.

1. Reconocé las regiones y el campo

En equilibrio electrostático, la carga libre queda sobre la superficie de la esfera conductora y el campo dentro del metal es nulo. Fuera, la simetría esférica y la ley de Gauss dan un campo radial equivalente al de una carga puntual Q en el centro. En la superficie distinguí los valores del campo a cada lado; para calcular V no hace falta asignar allí un valor único a E.

E⃗(r)={0,0≤r<RkQr2 r^,r>R\vec E(r)=\begin{cases}0,&0\le r<R\\[2pt]\dfrac{kQ}{r^2}\,\hat r,&r>R\end{cases}
2. Relacioná potencial y campo

Tomá como referencia V(∞) = 0. Para ir desde el infinito hasta un punto a distancia r, integrá el campo en un camino radial. Llamá s a la variable de integración y usá la relación entre diferencia de potencial y campo eléctrico.

V(r)−V(∞)=−∫∞rE⃗⋅dℓ⃗,dℓ⃗=r^ dsV(r)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r}\vec E\cdot\mathrm d\vec\ell,\qquad \mathrm d\vec\ell=\hat r\,\mathrm ds
3. Integrá en el exterior

Para r > R, todo el camino desde el infinito permanece fuera del conductor. Sustituí E(s) = kQ/s² y resolvé la integral con los límites indicados. El potencial disminuye al alejarte de esta carga positiva.

Vext(r)=−∫∞rkQs2 ds=[kQs]∞r=kQr,r>R\begin{aligned}V_{\mathrm{ext}}(r)&=-\int_{\infty}^{r}\frac{kQ}{s^2}\,\mathrm ds\\&=\left[\frac{kQ}{s}\right]_{\infty}^{r}=\frac{kQ}{r},\qquad r>R\end{aligned}
4. Calculá el valor en la superficie

Acercate a la superficie desde afuera y usá r = R en la expresión exterior. El potencial es continuo al atravesar una superficie con carga finita, aunque el campo cambie bruscamente.

V(R)=kQR=(9×109)(8×10−9)0,20=360 VV(R)=\frac{kQ}{R}=\frac{(9\times10^9)(8\times10^{-9})}{0{,}20}=360\,\mathrm V

V(R) = 360 V.

5. Hallá el potencial interior

Dentro del conductor E = 0, así que entre la superficie y cualquier punto interior la diferencia de potencial es cero. El centro y todos los puntos interiores están al mismo potencial que la superficie.

Vint(r)−V(R)=−∫Rr0 ds=0⟹Vint(r)=360 VV_{\mathrm{int}}(r)-V(R)=-\int_R^r 0\,\mathrm ds=0\quad\Longrightarrow\quad V_{\mathrm{int}}(r)=360\,\mathrm V

V(r) = 360 V para 0 ≤ r < R.

6. Reuní la solución para todo r

Escribí una sola función por regiones y comprobá los límites: en r = R ambas expresiones dan 360 V; cuando r crece sin límite, V tiende al cero elegido como referencia. El gráfico muestra el tramo constante y la caída exterior como 1/r.

V(r)={kQR=360 V,0≤r≤RkQr,r≥Rlim⁡r→∞V(r)=0V(r)=\begin{cases}\dfrac{kQ}{R}=360\,\mathrm V,&0\le r\le R\\[6pt]\dfrac{kQ}{r},&r\ge R\end{cases}\qquad \lim_{r\to\infty}V(r)=0

Interior y superficie: 360 V. Exterior: V(r) = kQ/r.

Gráfico de V en función de r para la esfera conductora: 360 voltios constantes desde el centro hasta la superficie de radio 0,20 metros; fuera decrece de forma continua como kQ sobre r y tiende a cero.