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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Ciclos de Potencia de Gas

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

En un ciclo de Joule Brayton abierto, de aire estándar, la presión de entrada es de p1 = 1 bar y t1 = 27 °C, la relación de presiones rp = 8 y la temperatura de entrada a la turbina es de t3 = 727 °C. Además, ηiso = 0,90 (rendimientos isoentrópicos en la turbina y compresor).

Si las condiciones del medio atmosférico son p0 = 100 kPa y T0 = 300 K.

Nota: para el aire cp = 1,004 kJ/kg·K y k = 1,4.

Obtener:

a) Diagramas de instalación, (T-s) y (p-v) del ciclo.

b) Calor entregado q1.

c) Trabajo del compresor, turbina y neto del ciclo.

d) Rendimiento térmico del ciclo.

e) Calor útil de la fuente caliente.

f) Variación de exergía del universo.

g) Rendimiento exergético de todo el ciclo.

Resolución en hojas

Hoja 1

Hoja 2

Hoja 3

Hoja 4

Hoja 5

Hoja 6

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Ciclo Otto de aire con calores específicos variables

La relación de compresión de un ciclo Otto de aire estándar es $r=9,5$ . Antes de la compresión isentrópica, el aire está a $P_1=100\,\mathrm{kPa}$ y $27\,{}^\circ\mathrm C$ ; el volumen del cilindro es $V_1=600\,\mathrm{cm^3}$ . Al final de la expansión isentrópica la temperatura es $T_4=800\,\mathrm K$ . Empleá calores específicos variables y la tabla de aire como gas ideal ( $u$ , $s^\circ$ y $v_r$ ), denominada tabla de Keenan y Kaye.

Completá la tabla de los cuatro estados. Determiná la temperatura y la presión máximas, el calor transferido en kJ, el rendimiento térmico y la presión media efectiva. Hacé croquis del ciclo en $P$ – $v$ , $T$ – $s$ , $h$ – $T$ y $h$ – $P$ .

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Aire en cilindro–émbolo, Cuatro procesos Otto, Masa cerrada. Datos: P₁ = 100 kPa; T₁ = 27 °C; V₁ = 600 cm³; r = 9,5; T₄ = 800 K.

Razonalo paso a paso.

1. Analizá el sistema y numerá el ciclo

Seguimos la misma masa de aire dentro del cilindro. El ciclo Otto tiene compresión isentrópica 1→2, incorporación de calor a volumen constante 2→3, expansión isentrópica 3→4 y rechazo de calor a volumen constante 4→1. Por eso el volumen mayor es el de 1 y 4; el menor, el de 2 y 3.

\begin{gathered}m_1=m_2=m_3=m_4,\qquad r=\frac{V_1}{V_2}=\frac{V_4}{V_3}=9{,}5\\V_1=V_4=0{,}000600\,\mathrm{m^3},\qquad V_2=V_3=\frac{V_1}{9{,}5}\end{gathered}

2. Pasá a kelvin y hallá la masa

Para este ejercicio tomamos $27\,{}^\circ\mathrm C$ como $300\,\mathrm K$ , la fila disponible en la tabla de aire. Convertí también $600\,\mathrm{cm^3}$ a metros cúbicos. Con $R_{aire}=0,287\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}$ , aplicá $P_1V_1=mRT_1$ . La masa será la misma en los cuatro estados.

\begin{gathered}T_1\simeq27+273=300\,\mathrm K\\m=\frac{P_1V_1}{RT_1}=\frac{100(0{,}000600)}{0{,}287(300)}\approx0{,}00069686\,\mathrm{kg}\end{gathered}

3. Leé el estado 1 y empezá la tabla

En la Tabla 9 de aire con calor específico variable buscá directamente la fila de $300\,\mathrm K$ . Leé de esa misma fila $u_1$ , $s_1^\circ$ , $v_{r1}$ y $h_1$ : no hace falta interpolar el estado 1. El símbolo $s^\circ(T)$ es el valor tabulado que depende solo de $T$ ; no es por sí solo la entropía real del estado.

\begin{gathered}T_1=300\,\mathrm K,\qquad u_1=214{,}07\,\mathrm{kJ/kg}\\s_1^\circ=1{,}70203\,\mathrm{kJ/(kg\,K)},\qquad v_{r1}=621{,}2\\h_1=300{,}19\,\mathrm{kJ/kg}\end{gathered}

Tabla 9 de aire: fila de 300 K con temperatura, entalpía, energía interna, entropía tabulada y volumen relativo marcados.

Tabla de estados · Aire ideal
Estado	T (K)	P (kPa)	u (kJ/kg)	s°(T) (kJ/(kg·K))	vᵣ
1	300	100	214,07	1,70203	621,2

s°(T) es el valor tabulado para usar con diferencias de presión; las transformaciones 1→2 y 3→4 tienen entropía real constante. Los valores interpolados son aproximados.

4. Buscá la temperatura del estado 2

La compresión 1→2 es isentrópica. Con calores específicos variables, usá los volúmenes relativos de la tabla: $v_{r2}/v_{r1}=V_2/V_1=1/r$ . El valor buscado queda entre las filas de 710 y 720 K. Interpolá ahí para conocer $T_2$ .

\begin{gathered}v_{r2}=\frac{621{,}2}{9{,}5}=65{,}3895\\f_2=\frac{67{,}07-65{,}3895}{67{,}07-64{,}53}\approx0{,}66162\\T_2=710+f_2(720-710)\approx716{,}62\,\mathrm K\end{gathered}

Tabla 9 de aire: filas de 710 y 720 K usadas para interpolar el estado 2.

5. Completá el estado 2

Aplicá la misma fracción de interpolación a las columnas $u$ y $s^\circ$ de 710 y 720 K. Después usá $P/T$ proporcional a $1/V$ para hallar la presión: el volumen final es $V_1/9,5$ . Incorporá toda la segunda fila a la tabla.

\begin{gathered}u_2=520{,}23+f_2(528{,}14-520{,}23)\approx525{,}46\,\mathrm{kJ/kg}\\s_2^\circ=2{,}58810+f_2(2{,}60319-2{,}58810)\approx2{,}59808\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}\\P_2=P_1\frac{T_2}{T_1}r=100\frac{716{,}62}{300}(9{,}5)\approx2269\,\mathrm{kPa}\end{gathered}

Tabla de estados · Aire ideal
Estado	T (K)	P (kPa)	u (kJ/kg)	s°(T) (kJ/(kg·K))	vᵣ
1	300	100	214,07	1,70203	621,2
2	≈ 716,62	≈ 2269	≈ 525,46	≈ 2,59808	≈ 65,3895

s°(T) es el valor tabulado para usar con diferencias de presión; las transformaciones 1→2 y 3→4 tienen entropía real constante. Los valores interpolados son aproximados.

6. Leé el estado 4 en la tabla

El enunciado da $T_4=800\,\mathrm K$ . Buscá esa fila de la misma Tabla 9 y leé directamente $u_4$ , $s_4^\circ$ y $v_{r4}$ . Como 4→1 es a volumen constante, $V_4=V_1$ ; su presión se calculará al completar las filas.

T_4=800\,\mathrm K:\qquad u_4=592{,}30\,\mathrm{kJ/kg},\quad s_4^\circ=2{,}71787\,\mathrm{kJ/(kg\,K)},\quad v_{r4}=48{,}08

Tabla 9 de aire: fila de 800 K correspondiente al estado 4.

Tabla de estados · Aire ideal
Estado	T (K)	P (kPa)	u (kJ/kg)	s°(T) (kJ/(kg·K))	vᵣ
1	300	100	214,07	1,70203	621,2
2	≈ 716,62	≈ 2269	≈ 525,46	≈ 2,59808	≈ 65,3895
4	800	≈ 266,67	592,30	2,71787	48,08

s°(T) es el valor tabulado para usar con diferencias de presión; las transformaciones 1→2 y 3→4 tienen entropía real constante. Los valores interpolados son aproximados.

7. Buscá el estado 3 en la página siguiente

La expansión 3→4 también es isentrópica. Por eso $v_{r4}/v_{r3}=V_4/V_3=r$ . Calculá $v_{r3}$ y buscá ese número entre las filas de 1660 y 1680 K de la continuación de la Tabla 9. Interpolá $T_3$ , $u_3$ y $s_3^\circ$ .

\begin{gathered}v_{r3}=\frac{48{,}08}{9{,}5}=5{,}06105,\qquad f_3=\frac{5{,}147-5{,}06105}{5{,}147-4{,}949}=0{,}43408\\T_3=1660+f_3(1680-1660)=1668{,}68\,\mathrm K\\u_3=1354{,}48+f_3(1373{,}24-1354{,}48)=1362{,}62\,\mathrm{kJ/kg}\\s_3^\circ=3{,}56867+f_3(3{,}58335-3{,}56867)=3{,}57504\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}\end{gathered}

Continuación de la Tabla 9: filas de 1660 y 1680 K usadas para interpolar el estado 3.

Tabla de estados · Aire ideal
Estado	T (K)	P (kPa)	u (kJ/kg)	s°(T) (kJ/(kg·K))	vᵣ
1	300	100	214,07	1,70203	621,2
2	≈ 716,62	≈ 2269	≈ 525,46	≈ 2,59808	≈ 65,3895
3	≈ 1668,68	Pendiente	≈ 1362,62	≈ 3,57504	≈ 5,06105
4	800	Pendiente	592,30	2,71787	48,08

s°(T) es el valor tabulado para usar con diferencias de presión; las transformaciones 1→2 y 3→4 tienen entropía real constante. Los valores interpolados son aproximados.

8. Calculá las presiones y cerrá la tabla

Entre 2 y 3 el volumen no cambia: $P_3/P_2=T_3/T_2$ . Entre 4 y 1 tampoco cambia: $P_4/P_1=T_4/T_1$ . Así completás las cuatro filas antes de calcular calores o trabajo. La temperatura y la presión máximas corresponden al estado 3.

\begin{gathered}P_3=P_2\frac{T_3}{T_2}\approx5284\,\mathrm{kPa}\\P_4=P_1\frac{T_4}{T_1}=100\frac{800}{300}\approx266{,}67\,\mathrm{kPa}\end{gathered}

a) $T_{\max}=T_3\approx1668{,}7\,\mathrm K$ y $P_{\max}=P_3\approx5{,}284\,\mathrm{MPa}$ .

Tabla de estados · Aire ideal
Estado	T (K)	P (kPa)	u (kJ/kg)	s°(T) (kJ/(kg·K))	vᵣ
1	300	100	214,07	1,70203	621,2
2	≈ 716,62	≈ 2269	≈ 525,46	≈ 2,59808	≈ 65,3895
3	≈ 1668,68	≈ 5284	≈ 1362,62	≈ 3,57504	≈ 5,06105
4	800	≈ 266,67	592,30	2,71787	48,08

s°(T) es el valor tabulado para usar con diferencias de presión; las transformaciones 1→2 y 3→4 tienen entropía real constante. Los valores interpolados son aproximados.

9. Dibujá el ciclo en P–v

En el eje horizontal ubicá el volumen específico y en el vertical la presión. 1→2 se curva hacia arriba y a la izquierda; 2→3 sube a volumen constante; 3→4 se curva hacia abajo y a la derecha; 4→1 baja a volumen constante. Numerá los cuatro extremos y marcá $v_1=v_4$ y $v_2=v_3$ . Trazá completas solo las isotermas de los extremos térmicos: $T_1=300\,\mathrm K$ (la más fría) y $T_3\approx1668,68\,\mathrm K$ (la más caliente). Son líneas de temperatura constante; las curvas de compresión y expansión siguen siendo isentrópicas.

v_1=v_4,\qquad v_2=v_3=\frac{v_1}{9{,}5}

Croquis del ciclo Otto en P–v con los cuatro estados y el sentido de cada proceso.

10. Dibujá el ciclo en T–s

Poné entropía real en el eje horizontal y temperatura en el vertical. Las dos transformaciones isentrópicas son verticales. La adición de calor 2→3 avanza hacia arriba y a la derecha; el rechazo 4→1 vuelve hacia abajo y a la izquierda. No confundas $s^\circ(T)$ de la tabla con la entropía real: para un gas ideal, $s_j-s_i=s_j^\circ-s_i^\circ-R\ln(P_j/P_i)$ .

s_1=s_2,\qquad s_3=s_4

Croquis del ciclo Otto en T–s con los cuatro estados y el sentido de cada proceso.

11. Leé las entalpías para los otros croquis

En el modelo de gas ideal, $h$ depende solo de $T$ . Leé $h_1$ directamente a 300 K y $h_4$ directamente a 800 K. Interpolá $h_2$ entre 710 y 720 K y $h_3$ entre 1660 y 1680 K. Estas entalpías sirven para ubicar los estados en $h$ – $T$ y $h$ – $P$ ; los balances del ciclo cerrado se harán con $u$ .

\begin{gathered}(h_1,h_2,h_3,h_4)\approx(300{,}19;731{,}17;1841{,}61;821{,}95)\,\mathrm{kJ/kg}\\T_1<T_2<T_4<T_3\end{gathered}

Croquis del ciclo Otto en h–T con los cuatro estados y el sentido de cada proceso.

12. Dibujá h–T y h–P

En $h$ – $T$ , los cuatro puntos caen sobre una sola curva creciente $h(T)$ : el ciclo recorre esa curva en ambos sentidos y no encierra un área. En $h$ – $P$ , ubicá cada par $(P_i,h_i)$ y uní 1→2→3→4→1 con el sentido indicado.

h=h(T),\qquad (P_i,h_i)\;\text{para}\;i=1,2,3,4

Croquis del ciclo Otto en h–P con los cuatro estados y el sentido de cada proceso.

13. Calculá el calor que entra

En el tramo 2→3 no cambia el volumen y no hay trabajo de frontera. Con la primera ley, el calor incorporado es el aumento de energía interna. Multiplicalo por la masa para obtener los kJ solicitados por ciclo.

\begin{gathered}q_{\mathrm{entra}}=u_3-u_2=1362{,}62-525{,}46\approx837{,}16\,\mathrm{kJ/kg}\\Q_{\mathrm{entra}}=m q_{\mathrm{entra}}\approx0{,}5834\,\mathrm{kJ/ciclo}\end{gathered}

14. Calculá el calor que sale y el trabajo neto

En 4→1 también se mantiene el volumen. El calor sale del aire y se informa su magnitud; con la convención de calor entrante positivo, $Q_{4\to1}$ es negativo. Como la energía vuelve al estado inicial, el trabajo neto por ciclo es el calor neto.

\begin{gathered}q_{\mathrm{sale}}=u_4-u_1=592{,}30-214{,}07=378{,}23\,\mathrm{kJ/kg}\\Q_{\mathrm{sale}}=m q_{\mathrm{sale}}\approx0{,}2636\,\mathrm{kJ/ciclo}\\W_{\mathrm{neto}}=Q_{\mathrm{entra}}-Q_{\mathrm{sale}}\approx0{,}3198\,\mathrm{kJ/ciclo}\end{gathered}

b) Entra $0{,}5834\,\mathrm{kJ}$ y sale $0{,}2636\,\mathrm{kJ}$ por ciclo.

15. Obtené el rendimiento térmico

El efecto buscado en un motor Otto es el trabajo neto. Dividí ese trabajo por el calor que entró; mantené las cifras sin redondear hasta el final. No uses la fórmula con un $k$ constante, porque el enunciado pide calores específicos variables.

\eta_{\mathrm{t}}=\frac{W_{\mathrm{neto}}}{Q_{\mathrm{entra}}}=1-\frac{u_4-u_1}{u_3-u_2}\approx0{,}5482=54{,}82\%

c) Rendimiento térmico: $54{,}82\%$ .

16. Calculá la presión media efectiva

La presión media efectiva es la presión constante ficticia que produciría el mismo trabajo neto durante la carrera útil $V_1-V_2$ . Convertí $\mathrm{kJ/m^3}$ a kPa usando $1\,\mathrm{kJ/m^3}=1\,\mathrm{kPa}$ .

\mathrm{PME}=\frac{W_{\mathrm{neto}}}{V_1-V_2}=\frac{0{,}31981}{0{,}000600(1-1/9{,}5)}\approx596\,\mathrm{kPa}

d) Presión media efectiva: aproximadamente $596\,\mathrm{kPa}$ .

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