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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Análisis Diferencial

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

Un campo de velocidades bidimensional viene dado por:

V = (x^2 - y^2 + x) i - (2xy + y) j

Calcular, en el punto (x, y) = (1, 2):

a) Las aceleraciones ax y ay. b) La componente de la velocidad según la dirección theta = 40°. c) La dirección de máxima velocidad. d) La dirección de máxima aceleración.

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de Análisis Diferencial
Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de Análisis Diferencial

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Campo de velocidades y continuidad

En un flujo bidimensional incompresible, u(x,y) = 2x + y y v(x,y) = −2y + Cx, con x e y en metros y velocidades en m/s. Una partícula pasa por (1 m, 2 m). Tomá C = 3 s⁻¹ para la evaluación numérica.

Verificá continuidad, calculá aceleración material en ese punto y decidí si hay rotación local.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Campo vectorial, Proyecciones del punto P, P = (1 m; 2 m). Datos: u = 2x + y; v = −2y + Cx; C = 3 s⁻¹.
Deslizá para ver el esquema completo →

Razonalo paso a paso.

1. Probá continuidad

Para densidad constante, la divergencia del campo debe ser nula.

∇⋅V=∂u∂x+∂v∂y=2−2=0\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=2-2=0

El campo es compatible con incompresibilidad.

2. Evaluá velocidad

Sustituí las coordenadas del punto y el valor dado de C en cada componente.

u(1,2)=2(1)+2=4 m/sv(1,2)=−2(2)+3(1)=−1 m/s\begin{aligned}u(1,2)&=2(1)+2=4\,\mathrm{m/s}\\v(1,2)&=-2(2)+3(1)=-1\,\mathrm{m/s}\end{aligned}
3. Calculá aceleración convectiva

El campo es estacionario; por eso, la aceleración material coincide con la convectiva.

ax=u∂u∂x+v∂u∂y=4(2)+(−1)(1)=7 m/s2ay=u∂v∂x+v∂v∂y=4(3)+(−1)(−2)=14 m/s2\begin{aligned}a_x&=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\\&=4(2)+(-1)(1)=7\,\mathrm{m/s^2}\\a_y&=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\\&=4(3)+(-1)(-2)=14\,\mathrm{m/s^2}\end{aligned}

a = (7,14) m/s².

4. Evaluá vorticidad

La vorticidad perpendicular al plano se obtiene con las derivadas cruzadas; la velocidad angular local es su mitad.

ωz=∂v∂x−∂u∂y=3−1=2 s−1Ωz=ωz2=1 rad/s\begin{aligned}\omega_z&=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=3-1=2\,\mathrm{s^{-1}}\\\Omega_z&=\frac{\omega_z}{2}=1\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}

El flujo rota localmente a 1 rad/s.