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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Ley de Gauss

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

Encuentre el campo eléctrico a una distancia r desde una línea de carga positiva de longitud infinita y carga constante por unidad de longitud λ.

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de Ley de Gauss
Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de Ley de Gauss

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Campo dentro y fuera de una esfera cargada

Una esfera maciza aislante de radio R = 0,20 m contiene una carga total Q = +8 nC distribuida uniformemente en volumen. Usá k = 9×10⁹ N·m²/C².

Explicá la simetría y elegí superficies gaussianas. Calculá la carga encerrada integrando la densidad en el volumen y hallá el campo eléctrico a 0,10 m y a 0,40 m del centro; indicá su dirección y sentido.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Esfera aislante uniforme, P₁ interior, P₂ exterior. Datos: R = 0,20 m; Q = +8 nC; r₁ = 0,10 m; r₂ = 0,40 m.

Razonalo paso a paso.

1. Reconocé la simetría esférica

Una distribución tiene simetría si permanece igual al transformarla. Aquí, al girar la esfera de carga uniforme alrededor de cualquier eje que pase por el centro O, la distribución no cambia. No hay un eje privilegiado: x, y y cualquier otro diámetro son equivalentes. Por eso el campo solo depende de la distancia r al centro y apunta radialmente. Como Q es positiva, su sentido es hacia afuera.

E⃗(r⃗)=E(r) r^\vec E(\vec r)=E(r)\,\hat r
2. Elegí las superficies gaussianas

Para cada distancia elegí una esfera imaginaria centrada en O: una de radio r₁ = 0,10 m dentro del material y otra de radio r₂ = 0,40 m fuera de él. Son superficies matemáticas, no capas de carga. En cada una, la simetría hace que E tenga igual módulo en todos sus puntos y sea paralelo a la normal saliente.

r1=0,10 m<R,r2=0,40 m>Rr_1=0{,}10\,\mathrm m<R,\qquad r_2=0{,}40\,\mathrm m>R
Corte de dos superficies gaussianas esféricas imaginarias centradas en O: una de radio 0,10 metros dentro de la esfera aislante de radio 0,20 metros y otra de radio 0,40 metros fuera de ella.
3. Aplicá la ley de Gauss

La ley de Gauss vale siempre; la simetría esférica es lo que permite calcular cómodamente el flujo. Sobre una esfera concéntrica, E es constante en módulo y paralelo a cada elemento de área. Por eso la integral se reduce al producto de E por el área 4πr². Usá k = 1/(4πε₀).

∮ΣrE⃗⋅dA⃗=Qenc(r)ε0E(r) 4πr2=Qenc(r)ε0E(r)=k Qenc(r)r2\begin{aligned}\oint_{\Sigma_r}\vec E\cdot\mathrm d\vec A&=\frac{Q_{\mathrm{enc}}(r)}{\varepsilon_0}\\E(r)\,4\pi r^2&=\frac{Q_{\mathrm{enc}}(r)}{\varepsilon_0}\\E(r)&=k\,\frac{Q_{\mathrm{enc}}(r)}{r^2}\end{aligned}
4. Hallá la carga encerrada a 0,10 m

La carga encerrada se obtiene integrando la densidad en el volumen limitado por la primera superficie gaussiana. Llamá s al radio de integración para distinguirlo de r₁: en coordenadas esféricas, dV = s² senθ ds dθ dφ; al integrar los ángulos, una capa tiene dV = 4πs² ds. Como ρ es constante dentro del material, sale de la integral radial.

ρ=Q43πR3,dVcapa=4πs2 dsQenc(r1)=∭Vr1ρ dV=∫0r1ρ 4πs2 ds=4πρr133=Q(r1R)3=(8 nC)(0,100,20)3=1 nC\begin{aligned}\rho&=\frac{Q}{\frac43\pi R^3},\qquad \mathrm dV_{\mathrm{capa}}=4\pi s^2\,\mathrm ds\\Q_{\mathrm{enc}}(r_1)&=\iiint_{V_{r_1}}\rho\,\mathrm dV\\&=\int_0^{r_1}\rho\,4\pi s^2\,\mathrm ds\\&=\frac{4\pi\rho r_1^3}{3}=Q\left(\frac{r_1}{R}\right)^3\\&=(8\,\mathrm{nC})\left(\frac{0{,}10}{0{,}20}\right)^3\\&=1\,\mathrm{nC}\end{aligned}
5. Calculá el campo interior

Sustituí en la expresión obtenida de Gauss la carga encerrada por la superficie interior, Q_enc = 1 nC. El campo es radial; por ser positiva la carga encerrada, apunta hacia afuera del centro.

E(r1)=k Qenc(r1)r12=(9×109)(1×10−9)(0,10)2=900 N/CE(r_1)=k\,\frac{Q_{\mathrm{enc}}(r_1)}{r_1^2}=\frac{(9\times10^9)(1\times10^{-9})}{(0{,}10)^2}=900\,\mathrm{N/C}

E(0,10 m) = 900 N/C, radial hacia afuera.

6. Hallá la carga encerrada a 0,40 m

La superficie de radio r₂ rodea toda la esfera física. Integrá la densidad solo donde hay material cargado, desde s = 0 hasta R; entre R y r₂ la densidad es cero. Así se ve por qué la carga encerrada exterior es Q.

Qenc(r2)=∭Vr2ρ(s) dV=∫0Rρ 4πs2 ds=4πρR33=Q=+8 nC\begin{aligned}Q_{\mathrm{enc}}(r_2)&=\iiint_{V_{r_2}}\rho(s)\,\mathrm dV\\&=\int_0^R\rho\,4\pi s^2\,\mathrm ds\\&=\frac{4\pi\rho R^3}{3}=Q=+8\,\mathrm{nC}\end{aligned}
7. Calculá el campo exterior

Aplicá la misma relación de Gauss con r₂ = 0,40 m y la carga total encerrada. El campo exterior es radial y hacia afuera.

E(r2)=k Qr22=(9×109)(8×10−9)(0,40)2=450 N/CE(r_2)=k\,\frac{Q}{r_2^2}=\frac{(9\times10^9)(8\times10^{-9})}{(0{,}40)^2}=450\,\mathrm{N/C}

E(0,40 m) = 450 N/C, radial hacia afuera.