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PARCIAL GRATUITO · RESUELTO EN HOJAS

Parcial resuelto de Cuerpo Rígido y Rototraslación

Leé el enunciado y abrí las hojas de la resolución en orden.

Enunciado

El sistema de la figura 1 consta de un cubo de masa m₁ = 10 kg, vinculado mediante una cuerda ideal a un cilindro de masa m₂ = 100 kg y radio R₂ = 30 cm.

El momento de inercia de un cilindro o de una polea es:

Iᵢ = 1/2 mᵢRᵢ²

La polea tiene un radio R₃ = 20 cm y una masa m₃ = 20 kg. El cubo es traccionado hacia arriba por una fuerza F = 100 N.

El plano inclinado forma un ángulo α = 37° con la horizontal y no tiene roce. El plano horizontal presenta roce. Si el sistema se mueve una distancia d = 2 m, determinar:

a) El módulo de la aceleración.

b) Las tensiones de la cuerda y la fuerza de roce.

c) La velocidad final del sistema.

Imagen del enunciado de Parcial resuelto de Cuerpo Rígido y Rototraslación

Resolución en hojas

Hoja 1Hoja 1 de Parcial resuelto de Cuerpo Rígido y Rototraslación
Hoja 2Hoja 2 de Parcial resuelto de Cuerpo Rígido y Rototraslación
Hoja 3Hoja 3 de Parcial resuelto de Cuerpo Rígido y Rototraslación
Hoja 4Hoja 4 de Parcial resuelto de Cuerpo Rígido y Rototraslación
Hoja 5Hoja 5 de Parcial resuelto de Cuerpo Rígido y Rototraslación

Otro ejercicio gratuito, paso a paso

EJERCICIO GRATUITO

Cilindro que rueda por un plano

Un cilindro macizo de 2 kg y radio 0,20 m baja desde el reposo por un plano de 30° sin deslizar. Recorre una caída vertical de 1 m. Usá g = 10 m/s² y sen 30° = 0,50.

Calculá su aceleración, la fuerza de rozamiento estático y la rapidez al final.

Intentá resolverlo antes de abrir los pasos.

Esquema del planteo: Cilindro, Plano de 30°, Rodadura sin deslizamiento. Datos: m = 2 kg; R = 0,20 m; h = 1 m.

Razonalo paso a paso.

1. Definí el sistema y los ejes

Para las leyes de Newton aislá el cilindro; la rampa y la Tierra se consideran fijas en un marco inercial. Tomá +x paralelo al plano cuesta abajo, +y perpendicular hacia afuera y giro horario positivo. El cilindro macizo tiene I = ½mR² respecto de su centro. Como rueda sin deslizar, la aceleración del centro y la angular cumplen a = αR.

+x: cuesta abajo,+y: hacia afuera+α: giro horario,I=12mR2v=ωR,a=αR\begin{aligned}+x&:\ \text{cuesta abajo},\qquad +y:\ \text{hacia afuera}\\+\alpha&:\ \text{giro horario},\qquad I=\tfrac12mR^2\\v&=\omega R,\qquad a=\alpha R\end{aligned}
Eje x positivo cuesta abajo, eje y positivo perpendicular hacia afuera y giro horario positivo para el cilindro.
2. Dibujá el cuerpo libre

Representá el cilindro como cuerpo rígido, con su centro C y el contacto K. El peso P = mg se aplica en C y apunta verticalmente hacia abajo. La normal N y el roce estático se aplican en K: N es perpendicular al plano y su recta de acción pasa por C; el roce es tangente al plano y apunta cuesta arriba. Solo el roce tiene brazo R y produce momento respecto de C. Para las sumatorias, proyectá el peso en Pₓ cuesta abajo y Pᵧ hacia el plano; son componentes de P, no fuerzas adicionales.

P=mg=20 NPx=mgsin⁡30∘=10 NPy=mgcos⁡30∘\begin{aligned}P&=mg=20\,\mathrm N\\P_x&=mg\sin30^\circ=10\,\mathrm N\\P_y&=mg\cos30^\circ\end{aligned}
Cilindro rígido sobre el plano: peso aplicado en el centro C, normal y roce estático aplicados en el contacto K. El roce apunta cuesta arriba y tiene brazo R respecto del centro.
3. Probá si puede permanecer en reposo

Si el cilindro quedara quieto, a = 0 y α = 0. La suma de fuerzas paralelas exigiría un roce de 10 N cuesta arriba; la suma de momentos respecto del centro, en cambio, exigiría roce cero. Son incompatibles: el cilindro comienza a bajar y a girar.

∑Fx=0:Px−Froce est=0⟹Froce est=10 N∑MC=0:Froce estR=I(0)=0⟹Froce est=0(contradiccioˊn)\begin{aligned}\sum F_x=0&:\quad P_x-F_{\mathrm{roce\ est}}=0\\&\Longrightarrow F_{\mathrm{roce\ est}}=10\,\mathrm N\\\sum M_C=0&:\quad F_{\mathrm{roce\ est}}R=I(0)=0\\&\Longrightarrow F_{\mathrm{roce\ est}}=0\quad\text{(contradicción)}\end{aligned}
4. Escribí las sumatorias y el momento

El centro no acelera perpendicularmente al plano. En x la componente del peso impulsa y el roce estático se opone. Tomá momentos respecto de C: el peso se aplica allí y la recta de acción de N pasa por C, por eso ambos tienen momento nulo. El roce actúa en K, tangente al cilindro, con brazo perpendicular R.

∑Fy=N−Py=may=0N=mgcos⁡30∘∑Fx=Px−Froce est=ma∑MC=Froce estR=Iα\begin{aligned}\sum F_y&=N-P_y=ma_y=0\\N&=mg\cos30^\circ\\\sum F_x&=P_x-F_{\mathrm{roce\ est}}=ma\\\sum M_C&=F_{\mathrm{roce\ est}}R=I\alpha\end{aligned}
5. Despejá la aceleración

Usá I = ½mR² y α = a/R en la ecuación de momentos. Así obtenés el roce necesario en función de a; sustituilo en la sumatoria paralela y despejá sin omitir el paso intermedio.

Froce estR=12mR2aRFroce est=12mamgsin⁡30∘−12ma=maa=23gsin⁡30∘=23(10)(0,50)=103 m/s2\begin{aligned}F_{\mathrm{roce\ est}}R&=\tfrac12mR^2\frac aR\\F_{\mathrm{roce\ est}}&=\tfrac12ma\\mg\sin30^\circ-\tfrac12ma&=ma\\a&=\tfrac23g\sin30^\circ\\&=\tfrac23(10)(0{,}50)=\tfrac{10}{3}\,\mathrm{m/s^2}\end{aligned}

El centro acelera cuesta abajo a 3,33 m/s².

6. Calculá el roce estático requerido

Volvé a la relación obtenida del momento. El resultado es la fuerza de roce necesaria para que se cumpla la rodadura. Como no se dio μₛ, no podemos comprobar si el piso puede aportar ese valor; la ausencia de deslizamiento es una condición del enunciado.

Froce est=12ma=12(2 kg)(103 m/s2)=103 N≈3,33 Ncuesta arriba\begin{aligned}F_{\mathrm{roce\ est}}&=\tfrac12ma\\&=\tfrac12(2\,\mathrm{kg})\left(\tfrac{10}{3}\,\mathrm{m/s^2}\right)\\&=\tfrac{10}{3}\,\mathrm N\approx3{,}33\,\mathrm N\quad\text{cuesta arriba}\end{aligned}
7. Hallá la rapidez al final con energía

Ahora elegí el sistema cilindro–Tierra. La rampa fija no hace trabajo sobre el cilindro en rodadura ideal: el punto de contacto está instantáneamente en reposo y la normal también tiene trabajo nulo. La caída h = 1 m se convierte en energía cinética de traslación y rotación. Sustituí I y ω = v/R antes de despejar v.

Em,A=Em,Bmgh=12mv2+12Iω2mgh=12mv2+12(12mR2)v2R2gh=34v2v2=43gh=43(10)(1)=403 m2/s2v=403 m/s≈3,65 m/s\begin{aligned}E_{m,A}&=E_{m,B}\\mgh&=\tfrac12mv^2+\tfrac12I\omega^2\\mgh&=\tfrac12mv^2+\tfrac12\left(\tfrac12mR^2\right)\frac{v^2}{R^2}\\gh&=\tfrac34v^2\\v^2&=\tfrac43gh=\tfrac43(10)(1)=\tfrac{40}{3}\,\mathrm{m^2/s^2}\\v&=\sqrt{\tfrac{40}{3}}\,\mathrm{m/s}\approx3{,}65\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

La rapidez al terminar la caída es 3,65 m/s.